Question

在直角坐标系xoy中，直线l的方程为x-y+8=0，曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（8，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△AOB=

3

4

；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（I）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
（II）设Q（

3

cosα，sinα），利用点到直线的距离公式可得点Q到直线l的距离d，再利用余弦函数的单调性即可得出；
（III）假设存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△AOB=

3

4

；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l：x-y+t=0．由曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数），化为

x2

3

+y2=1．联立方程得到△＞0及根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点O到直线m的距离，再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）把极坐标系下的点P（8，

π

2

）化为直角坐标，得P（0，4）．     （2分）
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上．（4分）
（Ⅱ）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为（

3

cosα，sinα）（5分）
从而点Q到直线l的距离为d=

| 3 cosα-sinα+4

2

=

2

cos（α+

π

6

）+2

2

  （6分）
由此得，当cos（α+

π

6

）=-1时，d取得最小值，且最小值为

2

当cos（α+

π

6

）=11时，d取得最大值，且最大值为3

2

     （8分）
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设直线l：x-y+t=0．由曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数），化为

x2

3

+y2=1．
直线代入，化为4x²+6tx+3t²-3=0．
∵直线l与椭圆有两个交点，∴△=36t²-16（3t²-3）＞0，化为t²＜4（*）．
∴x₁+x₂=-

3t

2

，x₁x₂=

3t2-3

4

．
∴|AB|=

12-3t2 2

，
∵原点O到直线l的距离d=

|t|

2

，
∴

1

2

•

12-3t2 2

•

|t|

2

=

3

4

，
化为t⁴-4t²+3=0，解得t²=1或t²=3．满足（*）．
∴存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△AOB=

3

4

，
直线l为x-y±1=0，或x-y±

3

=0．

点评：本题综合考查了极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、余弦函数的单调性、相互平行的直线的斜率之间的关系、椭圆的参数方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．