Question

11．已知函数f（x）=ax²+a+4（a≠0）．
（1）若方程f（x）=0的两个根一个根比1大，一个根比1小，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若a∈Z，试求方程f（x）=0的 两个根．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）=0的两个根一个根比1大，一个根比1小，则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围；
（2）若a∈Z，则a=-1，代入f（x）=0，解得答案．

解答 解：（1）∵方程f（x）=0的两个根一个根比1大，一个根比1小，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ 2a+4＜0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 2a+4＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（-2，0），
（2）若a∈Z，则a=-1，
则函数f（x）=-x²+3，
若f（x）=0，则x=$±\sqrt{3}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，方程的根与函数的零点，难度中档．