Question

16．函数y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值是5，此时x=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 把原函数解析式变成：y=$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{{（x-0）}^{2}+（0-1）^{2}}$，问题转化为点（x，0）到点A（4，2）的距离与点（x，0）到点B（0，1）的距离的和，利用两点之间线段最短即可求y的最小值．

解答 解：∵y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$═$\sqrt{（x-4）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-0）^{2}+（0+1）^{2}}$，
设P（x，0），A（4，2），B（0，-1）；
∴y表示平面直角坐标系中：点P（x，0）到点A（4，2）的距离与点P（x，0）到点B（0，-1）的距离的和；
如图：
则|PA|+|PB|≥|AB|=$\sqrt{{4}^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，
此时A，B，P三点共线，
即k_AB=k_BP，即$\frac{2+1}{4-0}$=$\frac{0+1}{x-0}$，
解得x=$\frac{4}{3}$，即P（$\frac{4}{3}$，0），
即y=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最小值是5，此时x=$\frac{4}{3}$，
故答案为：5，$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及平面直角坐标系中两点间的距离公式，将求函数的最小值转化成求距离和的最小值，利用数形结合是解决本题的关键．