Question

8．已知圆的方程x²+y²-6x-2y-15=0．
（1）求直线x+2y=0截圆所得的弦长；
（2）求以原点为中点的弦所在直线方程；
（3）若点P（x，y）满足圆方程，求$\frac{y-10}{x-8}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将圆化成标准方程，得到该圆的圆心坐标和半径大小，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线x+2y=0截圆所得的弦长；
（2）求出以原点为中点的弦所在直线方程的斜率为-3，即可求以原点为中点的弦所在直线方程；
（3）设$\frac{y-10}{x-8}$=t，则y-10=t（x-8），即tx-y-8t+10=0，圆心到直线的距离d=$\frac{|-5t+9|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤5，即可求$\frac{y-10}{x-8}$的取值范围．

解答 解：（1）∵圆x²+y²-6x-2y-15=0化成标准方程为（x-3）²+（y-1）²=25
∴该圆的圆心为C（3，1），半径r=5
圆心到直线的距离d=$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$，
∴直线x+2y=0截圆所得的弦长2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$；
（2）k_OC=$\frac{1}{3}$
∴以原点为中点的弦所在直线方程的斜率为-3，方程为y=-3x；
（3）设$\frac{y-10}{x-8}$=t，则y-10=t（x-8），即tx-y-8t+10=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-5t+9|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤5，∴t≥$\frac{28}{45}$．

点评 本题给出圆的一般方程，考查了圆的一般方程与标准方程的互化的知识，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．