Question

（2003•北京）设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件，①f（-1）=f（1）=0，②对任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）证明：对任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得

|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0， 1 2 ] |f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[ 1 2 ，1]

；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用条件②，可得当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，从而可得结论；
（II）分类讨论，利用条件②，即可得到结论；
（III）利用反证法，利用条件引出矛盾，即可得解．

解答：（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当x∈[-1，1]时，有|f（x）|=|f（x）-f（1）|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f（x）≤1-x．
（Ⅱ）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，
当|u-v|≤1时，有|f（u）-f（v）|≤|u-v|≤1
当|u-v|≤1时，u•v＜0，不妨设u∈[-1，0），v∈（0，1]，则v-u＞1
从而有|f（u）-f（v）|≤|f（u）-f（-1）|+|f（v）-f（1）|≤|u+1|+|v-1|=2-（v-u）＜1
综上可知，对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由|f（u）-f（v）|=|u-v|．
u，v∈[

1

2

，1]得|f(

1

2

)-f(1)|=|

1

2

-1|=

1

2

又f（1）=0，所以|f(

1

2

)|=

1

2

①
又因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，
由条件|f（u）-f（v）|＜|u-v|．
u，v∈[0，

1

2

]得|f(

1

2

)|=|f(

1

2

)-f(0)|＜|

1

2

-0|=

1

2

所以|f(

1

2

)|＜

1

2

②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．

点评：本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．