Question

已知点P（2，0），及⊙C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线与⊙C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．

Answer 1

（1）由题意知，圆的标准方程为：（x-3）²+（y+2）²=9，
①设直线l的斜率为k（k存在）
则方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0
又⊙C的圆心为（3，-2），r=3，
由

|3k-2k+2|

k2+1

=1?k=-

3

4

所以直线方程为y=-

3

4

(x-2)即3x+4y-6=0；
②当k不存在时，直线l的方程为x=2．
综上，直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2；

（2）由弦心距d=

r2-( AB 2 )2

=

5

，即|CP|=

5

，
设直线l的方程为y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0则圆心（3，-2）到直线l的距离d=

|3k+2-2k|

k2+1

=

5

，
解得k=

1

2

，所以直线l的方程为x-2y-2=0联立直线l与圆的方程得

x-2y-2=0 (x-3)2+(y+2)2=9

，
消去x得5y2-4=0，则P的纵坐标为0，把y=0代入到直线l中得到x=2，
则线段AB的中点P坐标为（2，0），所求圆的半径为：

1

2

|AB|=2，
故以线段AB为直径的圆的方程为：（x-2）²+y²=4．