Question

（2013•青岛二模）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令dn=1+loga

a 2 n+1 + a 2 n+2

5

(a＞0，a≠1)，记数列{d_n}的前n项和为S_n，若

S2n

Sn

恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1可⇒a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1，二式作差可得即

an+1

an

=2（n≥2），再求得

a2

a1

=2即可判断数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）利用等差数列的概念可判断{d_n}是以d₁=1+2log_a2为首项，以2log_a2为公差的等差数列，由

S2n

Sn

=

2+(4n+2)loga2

1+(n+1)loga2

=λ，结合

S2n

Sn

恒为一个与n无关的常数λ可得到关于λ的方程组，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由题a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①
∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②
由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=2（n≥2）…（3分）
当n=2时，a₁-a₂=-1，
∵a₁=1，
∴a₂=2，

a2

a1

=2，
所以，数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
故a_n=2^n-1（n∈N^*）…（5分）
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，
∴d_n=1+loga

a 2 n+1 + a 2 n+2

5

=1+2nlog_a2，
∵d_n+1-d_n=2log_a2，
∴{d_n}是以d₁=1+2log_a2为首项，以2log_a2为公差的等差数列，…（8分）
∴

S2n

Sn

=

2n(1+2loga2)+ 2n(2n-1) 2 ×(2loga2)

n(1+2loga2)+ n(n-1) 2 ×(2loga2)

=

2+(4n+2)loga2

1+(n+1)loga2

=λ⇒（λ-4）nlog_a2+（λ-2）（1+log_a2）=0…（10分）
∵

S2n

Sn

恒为一个与n无关的常数λ，
∴

(λ-4)loga2=0 (λ-2)(1+loga2)=0

，
解之得：λ=4，a=

1

2

…（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查转化思想与方程思想，属于难题．