设函数定义在R上,对任意实数m、n,恒有且当
(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2)求证:f(x)在R上递减。
略
【解析】(1)证明:在f(m+n)=f(m)f(n)中,
令m=1,n=0,得f(1)=f(1)f(0).
∵0<f(1)<1,∴f(0)=1…………………2分
设x<0,则-x>0.令m=x,n=-x,代入条件式有f(0)=f(x)·f(-x),而f(0)=1,
∴f(x)=>1……………………….6分
(2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1………………….8分
令m=x1,m+n=x2,则n=x2-x1,代入条件式,得f(x2)=f(x1)·f(x2-x1),…10分
即0<<1.∴f(x2)<f(x1)……………….12分
∴f(x)在R上单调递减………………….14分
科目:高中数学 来源:2012-2013学年天津市高三第四次月考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
设是定义在R上的周期函数,周期为,对都有,且当时,,若在区间内关于x的方程=0恰有3个不同的实根,则a的取值范围是( )
A.(1,2) B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年海南省等4校联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
设是定义在R上的奇函数,且当x时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014届浙江省宁波市高一上学期期中考试数学试卷 题型:解答题
(本题满分16分)
设是定义在R上的奇函数,且对任意a、b,当时,都有.
(1)若,试比较与的大小关系;
(2)若对任意恒成立,求实数k的取值范围.
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