Question

（2013•和平区二模）已知函数f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左边的最小值即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）先求导数，确定函数的单调区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值；
（III）设g(x)=f(x)-

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)=lnx-

1

2

x2+(3-a)x-

1

2x2

，求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x²-ax（x＞0），则f′（x）=

1

x

+2x-a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴

1

x

+2x≥a．
∵当x＞0时，

1

x

+2x≥2

2

，当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

2

时等号成立．
∴a的取值范围是（-∞，2

2

]；
（Ⅱ）当a=3时，f′(x)=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)
当0＜x＜

1

2

或x＞1时，f′（x）＞0，
当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函数，在（

1

2

，1）上是减函数，
∴f（x）_极大值=f（

1

2

）=-

5

4

-ln2，f（x）_极小值=f（1）=-2
（III）设g(x)=f(x)-

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)=lnx-

1

2

x2+(3-a)x-

1

2x2

∴g′（x）=(

1

x

-x)+(3-a)+

1

x3

∵a∈（-∞，2

2

]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）内为增函数
∴g（x）_max=g（1）=2-a
∵f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]内恒成立，
∴2-a≤0，解得a≥2．

点评：本题考查学生会利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．