Question

第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm）：

男				女
		8	16	5	8	9
8	7	6	17	2	3	5	5	6
7	4	2	18	0	1	2
		1	19	0

若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

解：（I）根据茎叶图可知，这20名志愿者中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则每个人被抽到的概率为，所以应从“高个子”中抽人，从“非高个子”中抽人．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”，则，
因此至少有1人是“高个子”的概率是；
（II）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的所有可能为0，1，2，3．
，，，
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P

所以X的数学期望
分析：（I）确定“高个子”，“非高个子”的人数，利用用分层抽样的方法，可得每个人被抽中的概率，利用对立事件即可求解；
（Ⅱ）由于从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，利用离散型随机变量的定义及题意可知ξ的取值为0，1，2，3，在利用古典概型的概率公式求出每一个值对应事件的概率，由期望的公式求出即可．
点评：本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识．