【题目】已知函数,其中.
(1)设,讨论的单调性;
(2)若函数在内存在零点,求的范围.
【答案】(1)见解析;(2)的取值范围是.
【解析】试题分析:(1)求出,对分三种情况讨论,分别令求得的范围,可得函数增区间, 求得的范围,可得函数的减区间;(2)设 , ,设,分三种情况讨论: , , ,分别利用导数研究函数的单调性,结合函数图象以及零点定理,可得的范围.
则 .
试题解析:(1)定义域
故 则
若,则 在 上单调递减;
若,则 .
(i) 当 时,则 ,因此在 上恒有 ,即 在 上单调递减;
(ii)当时, ,因而在上有,在上有 ;因此 在 上单调递减,在单调递增.
(2)设 ,
,设,
则 .
先证明一个命题:当时, .令, ,故在上是减函数,从而当时, ,故命题成立.
(i)若 ,由 可知, .,故 ,对任意都成立,故 在上无零点,因此.
(ii)当,考察函数 ,由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为,则当时, ,故 在 上为减函数,又 ,
所以当 时, ,从而 在 上单调递减,故在 上恒有 。即 ,注意到 ,因此,令时,则有,由零点存在定理可知函数 在 上有零点,符合题意.
(iii)若,则由 可知, 恒成立,从而 在 上单调递增,也即 在上单调递增,因此,即在 上单调递增,从而恒成立,故方程 在 上无解.
综上可知, 的取值范围是 .
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【题目】设函数,其中为自然对数的底数.
(1)若曲线在轴上的截距为,且在点处的切线垂直于直线,求实数的值;
(2)记的导函数为, 在区间上的最小值为,求的最大值.
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【题目】已知数列, , , 满足,且当时, ,令.
(Ⅰ)写出的所有可能的值.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)是否存在数列,使得?若存在,求出数列;若不存在,说明理由.
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【题目】某班为了活跃元旦晚会气氛,主持人请12位同学做一个游戏,第一轮游戏中,主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字7到12的卡片的同学留下,其余的淘汰;第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字4到6的卡片的同学留下,其余的淘汰;第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中,每人依次从中取出一张卡片,取到标有数字2,3的卡片的同学留下,其余的淘汰;第四轮用同样的办法淘汰一位同学,最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.
(1)求甲获得奖品的概率;
(2)设为甲参加游戏的轮数,求的分布列与数学期望.
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【题目】已知二次函数(是常数,且)满足条件:,且方程有两个相等实根.
(1)求的解析式;
(2)是否存在实数,使的定义域和值域分别为和?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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