Question

给出下列四个命题
（1）．函数f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)，既不是奇函数，又不是偶函数；
（2）0＜x＜1，a，b∈R，且a•b＞0，则函数y=

a2

x

+

b2

1-x

的最小值是a²+b²；
（3）已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

满足条件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，且|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，则△P₁P₂P₃为正三角形；
（4）已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，则k∈（0，2）；
其中正确命题的有

（3）

（填出满足条件的所有序号）

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义，判断函数f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)的奇偶性，先求函数的定义域，再化简函数，最后计算f（-x），与f（x）比较即可．
（2）因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，所以函数y=

a2

x

+

b2

1-x

的函数值一定大于a²+b²，所以函数y=

a2

x

+

b2

1-x

的最小值不是a²+b²．
（3）通过条件|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1判断点P₁，P₂，P₃都在以O为圆心，半径是1的圆上，再根据

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，判断三个向量

OP1

，

OP2

，

OP3

，任两个所成角都为120°，就可金额得到∴△P₁P₂P₃为正三角形．
（4）先把不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

变形为k＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

，借助均值定理求出k的范围，与所给范围比较即可．

解答：解：（1）求函数f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)的定义域，为[-a，a]，∴f（x）可化简为f（x）=f(x)=

a2-x2

x

(a＞0)
∴f(-x)=

a2-x2

-x

=-f（x），∴函数f(x)=

a2-x2

|x+a|-a

(a＞0)为奇函数，（1）错误．
（2）∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，∴函数y=

a2

x

+

b2

1-x

的函数值不可能等于a²+b²，∴（2）错误．
（3）∵向量

OP1

，

OP2

，

OP3

满足条件|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，
∴点P₁，P₂，P₃都在以O为圆心，半径是1的圆上，又∵

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，
∴三个向量

OP1

，

OP2

，

OP3

，任两个所成角都为120°，
∴△P₁P₂P₃为正三角形，（3）正确．
（4）不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

可变形为k＜

a-c

a-b

+

a-c

b-c

，
∴若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，则k一定小于

a-c

a-b

+

a-c

b-c

的最小值，
而

a-c

a-b

+

a-c

b-c

=

a-b+bc

a-b

+

a-b+b-c

b-c

=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4，∴k∈（-∞，40，∴（4）错误
故答案为（3）

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，应用均值定理求函数的最值，以及向量的加法运算的应用，属于综合题．