Question

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=

6

3

，且过点P（1，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点A（x₀，y₀）为圆x²+y²=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程，根据e=

6

3

，可得a²=3b²，利用椭圆过点P（1，1），可得

1

a2

+

1

b2

=1，从而可求椭圆的方程；
（2）由题意可求得切线方程为x₀x+y₀y=1．①若y₀=0，则切线为x=1（或x=-1），求得B、C的坐标，从而可得CO⊥OB；②当y₀≠0时，切线方程为x₀x+y₀y=1，与椭圆联立并化简，利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂=0即可．

解答：（1）解：由题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵e=

6

3

，∴

a2-b2

a2

=

2

3

，∴a²=3b²
∵椭圆过点P（1，1），∴

1

a2

+

1

b2

=1
∴a²=4，b2=

4

3

∴椭圆的方程为

x2

4

+

3y2

4

=1；
（2）证明：由题意可求得切线方程为x₀x+y₀y=1
①若y₀=0，则切线为x=1（或x=-1），则B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（当x=-1时同理可得）；
②当y₀≠0时，切线方程为x₀x+y₀y=1，与椭圆联立并化简得(3x02+y02)x2-6x0x+3-4y02=0
∴x₁+x₂=

6x0

3x02+y02

，x1x2=

3-4y02

3x02+y02

设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=(1+

x02

y02

)x1x2-

x0

y02

(x1+x2)+

1

y02

=(1+

x02

y02

)×

3-4y02

3x02+y02

-

x0

y02

×

6x0

3x02+y02

+

1

y02

=0
∴CO⊥OB

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．