Question

已知函数f₁（x）=lg（-x-1）的定义域为M，函数f₂（x）=lg（x-3）的定义域为N，A=N∪M，函数g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为B．
（1）求A、B；
（2）若函数A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求对数函数的定义域可得M、N，从而求得 A=N∪M．
（2）由题意可得B⊆A，再分B=∅、B≠∅两种情况，分别求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）由题意可得M={x|-x-1＞0}={x|x＜-1}，N={x|x-3＞0}={x|x＞3}，
∴A=N∪M={x|x＜-1，或x＞3}．
由于x≤2，可得2^x∈（0，4]，故函数g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为B=（-a，4-a]．
（2）若函数A∩B=B，则B⊆A，∴B=∅，或 B≠∅．
当B=∅时，-a≥4-a，a无解．
当B≠∅，

-a＜4-a 4-a＜-1

，或

-a＜4-a a≥3

，求得a＞5，或 a≥3，
综合可得，a≥3．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．