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【题目】如图,已知圆Cy轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点 (在点的左侧),且.

(1)求圆C的方程;(2)过点任作一直线与圆O 相交于两点,连接,求证: 定值.

【答案】1 (2)见解析

【解析】试题分析:(1)由题意,得到圆C的方程为2(y2)2;(2直线ABx1ty,联立圆O方程,得到韦达定理,求得kANkBN为定值。

试题解析:

(1)因为圆Cy轴相切于点T(0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)

则圆C的半径为m,又|MN|3,所以m242,解得m,所以圆C的方程为2(y2)2.

(2)(1)M(1,0)N(4,0),当直线AB的斜率为0时,易知kANkBN0,即kANkBN0.

当直线AB的斜率不为0时,设直线ABx1ty,将x1ty代入x2y240,并整理得,(t21)y22ty30.

A(x1y1)B(x2y2)

所以

kANkBN0.

综上可知,kANkBN为定值.

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