【题目】如图,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴的正半轴交于两点 (点在点的左侧),且.
(1)求圆C的方程;(2)过点任作一直线与圆O: 相交于两点,连接,求证: 定值.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析:(1)由题意,得到圆C的方程为2+(y-2)2=;(2)直线AB:x=1+ty,联立圆O方程,得到韦达定理,求得kAN+kBN为定值。
试题解析:
(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2),可设圆心的坐标为(m,2)(m>0),
则圆C的半径为m,又|MN|=3,所以m2=4+2=,解得m=,所以圆C的方程为2+(y-2)2=.
(2)由(1)知M(1,0),N(4,0),当直线AB的斜率为0时,易知kAN=kBN=0,即kAN+kBN=0.
当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=1+ty,将x=1+ty代入x2+y2-4=0,并整理得,(t2+1)y2+2ty-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以
则kAN+kBN=+=+===0.
综上可知,kAN+kBN为定值.
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【题目】如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC
(1)求三棱锥D-ABC的体积
(2)求证:平面DAC⊥平面DEF;
(3)若M为DB中点,N在棱AC上,且CN=CA,求证:MN∥平面DEF
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【题目】如图 1,在直角梯形中, ,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直, 为的中点,如图 2.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求点到平面的距离.
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【题目】已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABC是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE=2,点M是棱AD的中点
(I)证明:平面AED⊥平面ACD;
(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值
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【题目】某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李,小王设计的底座形状分别为, ,经测量米, 米, 米,
(I)求的长度;
(Ⅱ)若环境标志的底座每平方米造价为元,不考虑其他因素,小李,小王谁的设计建造费用最低(请说明理由),最低造价为多少?()
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【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 为样本平均值.
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【题目】共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2017年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁至39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.
(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列列联表,并根据列联表的独立性检验,判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关?
(2)将频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量,求的分布与期望.
(参考数据:独立性检验界值表,其中)
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【题目】已知直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点, 为中点, 的斜率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆的动弦,且其斜率为1,问椭圆上是否存在定点,使得直线的斜率满足?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】甲袋中有1只黑球,3只红球;乙袋中有2只黑球,1只红球.
(1)从甲袋中任取两球,求取出的两球颜色不相同的概率;
(2)从甲,乙两袋中各取一球,求取出的两球颜色相同的概率.
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