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    如图，已知矩形ABCD中，AB=1，PA⊥平面ABCD，若在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，则BC的长是（　　）
    分析：利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．
    解答：解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
    ∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
    由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
    ∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
    又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
    ∴OQ⊥BC，
    ∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2．
    故选D．
    点评：熟练掌握三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源：名师指点学高中课程 数学 高二（下） 题型：044

    如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC将△ABC折起，使B点在平面ADC内的射影恰好落在AD上，求：

    (1)异面直线AB与CD成的角；

    (2)异面直线AB与CD的距离；

    (3)二面角B－AC－D的大小．

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    科目：高中数学 来源：2014届安徽省高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

    PC的中点．

    （1）求证：EF∥平面PAD；

    （2）求证：EF⊥CD；

    （3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

    【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

    第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

    第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

    第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

    证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

    ∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

    （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

    （3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型：解答题

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    A、选修4-1：几何证明选讲

       如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

    B、选修4-2：矩形与变换

    已知 为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。

    C、选修4-4：坐标系与参数方程

       在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。

    D、选修4-5：不等式选讲

       已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O为AB中点.

    （1）求证：AB⊥平面DCO

    （2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？

    试求相应的x值的.

    （3）求该几何体在(2)的条件下的体积.

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    科目：高中数学 来源：2011届江苏省南京市高三第二次模拟考试数学卷 题型：解答题

    在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10，共计20分。请在答题卡指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    A、选修4-1：几何证明选讲
    如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：ΔABC∽ΔEDC。

    B、选修4-2：矩形与变换
    已知为矩阵属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2。
    C、选修4-4：坐标系与参数方程
    在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（α为参数），曲线D的参数方程为，（t为参数）。若曲线C、D有公共点，求实数m的取值范围。
    D、选修4-5：不等式选讲
    已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

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