Question

已知e是自然对数的底，若函数f（x）=|e^x-bx|有且只有一个零点，则实数b的取值范围是

（-∞，0）∪{ e}

．

Answer 1

分析：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，即方程e^x-bx=0有且只有一个解，因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=

ex

x

，分类讨论可得当x∈（0，+∞）时，方程有且只有一解等价于b=e；当x∈（-∞，0）时，方程有且只有一解等价于b∈（-∞，0），从而可得b的取值范围；

解答：解：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，即方程e^x-bx=0有且只有一个解．
因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=

ex

x

． 
令h（x）=

ex

x

，由h′（x）=

(x-1)ex

x2

=0得x=1．
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，+∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，+∞）；
所以当x∈（0，+∞）时，方程b=

ex

x

有且只有一解等价于b=e．
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b=

ex

x

有且只有一解等价于b∈（-∞，0）．
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，难度较大．