Question

已知：对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若数列{a_n}的通项公式an=

5

2

n2-

3

2

n（n∈N^*），求：数列{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，
①设bn=

an

2n

，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
②求：数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接把an=

5

2

n2-

3

2

n代入△a_n=a_n+1-a_n，整理即可求出数列{△a_n}的通项公式；
（2）①先利用△a_n-a_n=2ⁿ得到a_n+1=2a_n+2ⁿ．再利用等差数列的定义来证明数列{b_n}是等差数列即可，进而求出数列{b_n}的通项公式；
②由上面求出的结论，直接代入可以得到数列{a_n}的通项公式，再利用数列求和的错位相减法求和即可．

解答：解：（1）依题意△a_n=a_n+1-a_n，
∴△a_n=[

5

2

（n+1）²-

3

2

（n+1）]-[

5

2

n2-

3

2

n]=5n+1
（2）①由△a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ?a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∵bn=

an

2n

，
∴b_n+1-b_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

，且b1=

a1

2

=

1

2

，
故{b_n}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列
∴b_n=

n

2

②∵bn=

an

2n

，
∴a_n=

n

2

•2n=n•2^n-1
∴s_n=1•2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1（1）　　　
2s_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-s_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
∴s_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1
=（n-1）2ⁿ+1．

点评：本题是在新定义下对等差数列的知识以及错位相减法求和的考查，主要考查运算能力．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．