Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

3

）（x∈R），且f(

π

6

)=1．
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=

1

2

sin

1

2

x的图象；
（3）在（1）的前提下，设α∈[

π

6

，

2π

3

，β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，f(α)=

3

5

，f（β）=-

4

5

，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

分析：（1）将x用

π

6

代替，求出正弦为1的所有角，求出其中的最小值．
（2）据图象的平移规律：左加右减；伸缩变换的规律：横坐标变为自变量x的乘的数的倒数；若三角函数符号前乘的数为A，则纵坐标变为原来的A倍．
（3）利用三角函数的平方关系求出α+

π

3

，β+

π

3

的余弦，利用商数关系求出α+

π

3

的正切；由于α-β=(α+

π

3

)-(β+

π

3

)
利用两角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．

解答：解：（1）因为f(

π

6

)=1，所以sin(ω•

π

6

+

π

3

)=1，
于是ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

+2kπ(k∈Z)，即ω=1+12k（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时f(x)=sin(x+

π

3

)．
（2）先将y=sin(x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin

1

2

x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的

1

2

倍（横坐标不变）得y=

1

2

sin

1

2

x的图象．
（3）因为f（α）=

3

5

，f(β)=-

4

5

，
所以sin(α+

π

3

)=

3

5

，sin(β+

π

3

)=-

4

5

．
因为α∈[

π

6

，

2π

3

]，β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，
所以α+

π

3

∈[

π

2

，π]，β+

π

3

∈(-

π

2

，0)．
于是cos(α+

π

3

)=-

4

5

，cos(β+

π

3

)=

3

5

．
①因为tan(α+

π

3

)=

sin(α+ π 3 )

cos(α+ π 3 )

=-

3

4

，
所以tanα=tan[(α+

π

3

)-

π

3

]=

tan(α+ π 3 )-tan π 3

1+tan(α+ π 3 )•tan π 3

=

- 3 4 - 3

1+(- 3 4 )• 3

=

4 3 +3

3 3 -4

=

48+25 3

11

．
②因为sin(α-β)=sin[(α+

π

3

)-(β+

π

3

)]=sin(α+

π

3

)cos(β+

π

3

)-cos(α+

π

3

)sin(β+

π

3

)=

3

5

•

3

5

-(-

4

5

)•(-

4

5

)=-

7

25

，
所以cos2（α-β）-1=-2sin²（α-β）=-2×(-

7

25

)2=-

98

625

．

点评：本题考查三角函数的图象变换规律，三角函数的同角三角函数的公式，三角函数的二倍角公式．
将未知的角用已知的角表示，从而将未知的三角函数用已知的三角函数表示．