Question

已知双曲线c：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为

5

．
（1）求双曲线的方程；
（2）若有两个半径相同的圆c₁，c₂，它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线c的两渐近线上，过双曲线的右焦点且斜率为-1的直线l与圆c₁，c₂都相切，求两圆c₁，c₂圆心连线斜率的范围．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y²=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=

c

a

=

5

，及a²+b²=c²，即可解得a，b；
（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y-1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圆c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因为直线l与圆c₁，c₂都相切，利用点到直线的距离公式可得

|t+2t-1|

2

=

|n-2n-1|

2

，经过化简可得n与t的关系，再利用斜率计算公式即可得出k=

2t+2n

t-n

，把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．

解答：解：（1）由抛物线y²=4x得焦点（1，0），得双曲线的c=1．
又e=

c

a

=

5

，a²+b²=c²，
解得a2=

1

5

，b2=

4

5

．
∴双曲线的方程为5x2-

5

4

y2=1．
（2）直线l的方程为x+y-1=0．
由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．
由已知可设圆c₁：（x-t）²+（y-2t）²=r²，圆c₂：（x-n）²+（y+2n）²=r²，其中t＞0，n＜0．
因为直线l与圆c₁，c₂都相切，所以

|t+2t-1|

2

=

|n-2n-1|

2

，
得直线l与t+2t-1=n-2n-1，或t+2t-1=-n+2n+1，即n=-3t，或n=3t-2，
设两圆c₁，c₂圆心连线斜率为k，则k=

2t+2n

t-n

，当n=-3t时，k=

2t-6t

4t

=-1；
当n=3t-2时，k=

2t+2n

t-n

=

4t-2

-t+1

，
∵t＞0，n＜0，∴0＜t＜

2

3

，故可得-2＜k＜2，
综上：两圆c₁，c₂圆心连线斜率的范围为（-2，2）．

点评：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与圆相切、点到直线的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．