Question

已知如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．

Answer 1

分析：（1）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°-30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°．
（2）连结BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3

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．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3

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解答：解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，可得△PAC是等边三角形，得∠P=60°．
（2）如图，连结BC．
∵AB是直径，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3

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又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3

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点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，属于基础题．