Question

（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

Answer 1

分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．
证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．
（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．

解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是

a

，

b

，

c

，

n

，则

b

，

c

，

n

共面，
根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得

c

=λ

b

+μ

n

，
则

a

•

c

=

a

•( λ

b

+μ

n

)=λ(

a

+

b

)+μ(

a

•

n

)
因为a⊥b，所以

a

•

b

=0，
又因为a?α，n⊥α，
所以

a

•

n

=0，
故

a

•

c

=0，从而a⊥c
证法二
如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥α，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥α，a?α，
∴直线PO⊥α，
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b=P，
∴a⊥平面PAO，
又c?平面PAO，
∴a⊥c
（2）逆命题为：a是平面α内的一条直线，b是α外的一条直线（b不垂直于α），c是直线b在α上的投影，若a⊥c，则a⊥b，
逆命题为真命题

点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．