Question

已知a∈R，b∈R⁺，e为自然数的底数，则[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的最小值为（　　）

• A、（1-ln2）²
• B、2（1-ln2）²
• C、1+ln2
• D、

  2

  （1-ln2）

Answer 1

考点：对数的运算性质,有理数指数幂的化简求值

专题：计算题,转化思想,导数的综合应用

分析：由待求式子的几何意义可构造函数y=

1

2

ex，y=ln2x，由[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的几何意义为两曲线y=

1

2

ex与y=ln2x上两点间的距离的平方进行求解．

解答： 解：构造函数y=

1

2

ex，y=ln2x，
则[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的几何意义为两曲线y=

1

2

ex与y=ln2x上两点间的距离的平方，
而两函数y=

1

2

ex与y=ln2x互为反函数，
∴两曲线y=

1

2

ex与y=ln2x上两点间的距离的最小值为曲线y=lnx上的点到直线y=x的距离的最小值的2倍．
由y=lnx，得：y′=

1

x

，
由

1

x

=1，得x=1，∴曲线y=lnx上的点（1，ln2）到直线y=x的距离最小，
根据对称性知，曲线y=

1

2

ex上的点（ln2，1）到直线y=x的距离最小，
则[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²的距离的最小值为[

1

2

e^a-ln（2b）]²+（a-b）²=(

(1-ln2)2+(ln2-1)2

)2=2(1-ln2)2．
故选：B．

点评：本题考查了对数的运算性质，考查了互为反函数的两个函数的图象间的关系，考查了数学转化思想方法，是中档题．