已知幂函数的图象与x轴,y轴无交点且关于原点对称,又有函数f(x)=x2-alnx+m-2在(1,2]上是增函数,g(x)=x-在(0,1)上为减函数.
①求a的值;
②若,数列{an}满足a1=1,an+1=p(an),(n∈N+),数列{bn},满足,,求数列{an}的通项公式an和sn.
③设,试比较[h(x)]n+2与h(xn)+2n的大小(n∈N+),并说明理由.
①;②;;③见解析.
解析试题分析:①由幂函数的定义和性质可以知道的取值集合,由图像关于原点对称的函数是奇函数可以确定的值,将的值代入,的解析式后,根据函数的单调性与导函数的关系以及不等式的恒成立问题的解法就可以知道满足的不等式,就可以解得的值;②先由已知条件求出的解析式,然后得出,的关系,由函数构造的方法可以求得的解析式,代入即可,再由数列求和公式求得的值;③先求出的解析式,再由相减的方法来判断两个式子的大小,最后减得的结果和0比较即可,注意分类讨论的思想.
试题解析:①幂函数的图像与轴,轴无交点,则有,解得
又,∴或,
又幂函数的图像关于原点对称,则有幂函数是奇函数,
当时,是偶函数,不合题意,舍去,
当时,是奇函数,∴,
∴,求导得,
又∵在上是增函数,∴在上恒成立,
解得,
又∵,在上为减函数,
∴在上恒成立,
解得,
综上知; ..3分
②∵,
∴∴∴∴,
∴是首项为公比的等比数列,
∴解得,
∴,
∴,
; .6分
③∵,
当时,,
当时,
=
=
=
=
,
. 10分
考点:函数的单调性与导函数的关系,奇函数图像的性质,等比数列的构造.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某地开发了一个旅游景点,第1年的游客约为100万人,第2年的游客约为120万人.某数学兴趣小组综合各种因素预测:①该景点每年的游客人数会逐年增加;②该景点每年的游客都达不到130万人.该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数(单位:万人)之间的关系.
(1)根据上述两点预测,请用数学语言描述函数所具有的性质;
(2)若=,试确定的值,并考察该函数是否符合上述两点预测;
(3)若=,欲使得该函数符合上述两点预测,试确定的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数, .
(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象与函数的图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(1)若x=时,取得极值,求的值;
(2)若在其定义域内为增函数,求的取值范围;
(3)设,当=-1时,证明在其定义域内恒成立,并证明().
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称 为“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”,求证:,;
(Ⅲ)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解.
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