Question

设函数f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

，x∈[2，e]，若p＞1，且对任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，则p的取值范围为（　　）

• A．(

  2e+4ln2

  3

  ，+∞)
• B．(

  4e

  e2-1

  ，+∞)
• C．(

  4+4ln2

  3

  ，+∞)
• D．(

  4e

  e2-1

  ，

  4+4ln2

  3

  )

Answer 1

分析：若对任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，即当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值，分别求出两个函数的最小值，可得p的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，
∴f′(x)=p(1+

1

x2

)-

2

x

=

px2-2x+p

x2

∵p＞1，故当x∈[2，e]时，f′（x）＞0恒成立
故当x=2时，函数f（x）取最小值

3

2

p-2ln2
∵g(x)=

2e

x

，当x∈[2，e]时，函数为减函数，故当x=e时，g（x）取最小值2
若对任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，
即当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值
即

3

2

p-2ln2＞2，解得p＞

4+4ln2

3

故p的取值范围为(

4+4ln2

3

，+∞)
故选C

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，其中将已知转化为当x∈[2，e]，函数f（x）的最小值大于g（x）的最小值，是解答的关键．