Question

2．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，AD⊥AB，AB═$\sqrt{2}$，AD=2，BC=4，AA₁=2，E，F分别是DD₁，AA₁的中点．
（I）证明：EF∥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求BC₁与平面B₁C₁F所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得EF∥AD，AD∥BC，从而EF∥BC，由此能证明EF∥平面B₁C₁CB．
（Ⅱ）以B₁A₁，B₁C₁，B₁B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BC₁与平面B₁C₁F所成的角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵E，F分别是DD₁，AA₁的中点，∴EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，
∵EF?平面B₁C₁CB，BC?平面B₁C₁CB，
∴EF∥平面B₁C₁CB．
解：（Ⅱ）由已知得A₁B₁⊥B₁C₁，BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
以B₁A₁，B₁C₁，B₁B为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则${A}_{1}（\sqrt{2}，0，0）$，C₁（0，4，0），A（$\sqrt{2}，0，\sqrt{2}$），
B（0，0，2），F（$\sqrt{2}，0，1$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，4，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，-4，1$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面B₁C₁F的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=\sqrt{2}x-4y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-$\sqrt{2}$），
设BC₁与平面B₁C₁F所成的角为θ，
则sinθ=|$\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$=|$\frac{\overrightarrow{{BC}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
∴BC₁与平面B₁C₁F所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．