Question

【题目】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6，求证：平面PBD⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】试题分析：先由平面可证明 ，由直角三角形的性质可得 ，再由线面垂直的判定定理可得平面 ，利用面面垂直的判定定理可得结果.

试题解析：∵PA⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，∴BD⊥PA.

又tan∠ABD＝＝. tan∠BAC＝＝.

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，

∴∠AED＝90°，即BD⊥AC.

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

∵BD平面PBD.

所以平面PBD⊥平面PAC.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；要证明面面垂直只需证明线面垂直，证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.