Question

【题目】天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文数学英语三个兴趣小组学生人数分别为10人10人15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.

（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？

（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查.

①记表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量的分布列和数学期望；

②设为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件发生的概率.

Answer 1

【答案】（1）语文数学英语三个兴趣小组中分别抽取人人人.（2）①分布列答案见解析，数学期望，②概率为.

【解析】

（1）由语文数学英语三个兴趣小组的人数之比为，利用分层抽样方法确定抽取的人数.

（2）①根据抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.得到随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数可能人，再求得相应概率，列出分布列，再求期望.②设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.有，且与互斥，根据①利用互斥事件的概率求解.

（1）因为数学英语三个兴趣小组学生人数分别为10人10人15人，

所以语文数学英语三个兴趣小组的人数之比为，

因此，采用分层抽样方法从中抽取人，

应从语文数学英语三个兴趣小组中分别抽取人人人.

（2）①依题意，得随机变量的所有可能取值为.

所以，.

因此，所求随机变量的分布列为

.

②依题意，设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.

则有，且与互斥.

由①知，，

所以

故事件发生的概率为.