Question

【题目】对于数列{an}，定义Hn= 为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1 ， 记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ， 若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】 ≤k≤
【解析】解：由题意，

Hn= =2n+1，

则a1+2a2+…+2n﹣1an=n2n+1，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1=（n﹣1）2n，则2n﹣1an=n2n+1﹣（n﹣1）2n=（n+1）2n，

则an=2（n+1），

对a1也成立，

故an=2（n+1），

则an﹣kn=（2﹣k）n+2，

则数列{an﹣kn}为等差数列，

故Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立可化为

a5≥0，a6≤0；

即

解得， ≤k≤ ，

所以答案是： ≤k≤ ．