Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a²﹣5a﹣3≥|x₁﹣x₂|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程x²﹣mx﹣2=0的两个实根
∴
∴|x₁﹣x₂|==
∴当m∈[﹣1，1]时，|x₁﹣x₂|_max=3，
由不等式a²﹣5a﹣3≥|x₁﹣x₂|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．可得：
a²﹣5a﹣3≥3，
∴a≥6或a≤﹣1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，
命题q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解．
②当a=0时，2x﹣1＞0有解
③当a＜0时，∵ax²+2x﹣1＞0有解， ∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax²+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．
又命题q是假命题， ∴a≤﹣1，
故命题p是真命题且命题q是假命题时，
a的取值范围为a≤﹣1．