Question

【题目】如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

（1）求证；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】试题分析：（1）由题意，可取中点，连接，则易知平面∥平面,由条件易证平面，则平面，又平面，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取中点为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面和平面的法向量，结合图形，二面角为锐角，从而问题可得解.

试题解析：（1）取中点，连结，，∵是正方形，∴，

又∵，，∴，∴面，∴，

又∵，，都是中点，∴，，∴面，

∴；

（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得，，，，则，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，得，

同理得平面的法向量为，

∴，所以他的余弦值是.