Question

15．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），其导函数为f′（x），且满足f（x）+f′（x）＜0，则不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$的解集为（　　）

• A． {x|x＞-2019}
• B． {x|x＜-2015}
• C． {x|-2019＜x＜-2015}
• D． {x|-2019＜x＜0}

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^x•f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：构造函数g（x）=e^x•f（x），
则g′（x）=[e^x•f（x）]′=e^x•f′（x）+e^x•f（x）=e^x•[f（x）+f′（x）]，
∵f（x）+f′（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
即g（x）在（-∞，0）上为减函数，
由不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$，
得e^x+2015•f（x+2015）＜e^-4•f（-4），
即g（x+2015）＜g（-4），
则-4＜x+2015＜0，得-2019＜x＜-2015．
即不等式f（x+2015）＜$\frac{f（-4）}{{e}^{x+2019}}$的解集为{x|-2019＜x＜-2015}．
故选：C

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，判断函数的单调性，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．