Question

19．已知椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点F（$\sqrt{3}$，0），M、N是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于M、N的动点，且△MND面积的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设斜率为$\frac{1}{2}$的直线，与椭圆C相交于A，B两点，求△OAB的面积的最大值，并写出此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得a²-b²=3，当D为椭圆的上（或下）顶点，△MND的面积最大，且为ab=2，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由于直线的斜率为k=$\frac{1}{2}$，可设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m，代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，再由弦长公式和点到直线的距离公式，结合基本不等式，可得三角形的面积的最大值，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
当D为椭圆的上（或下）顶点，△MND的面积最大，
且为ab=2，
解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由于直线的斜率为k=$\frac{1}{2}$，可设直线l：y=$\frac{1}{2}$x+m，
代入椭圆方程可得，x²+2mx+2m²-2=0，
则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由判别式△=（-2m）²-4（2m²-2）＞0，解得m²＜2，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{2-{m}^{2}}$，
O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$，
即有S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=|m|•$\sqrt{2-{m}^{2}}$≤$\frac{{m}^{2}+（2-{m}^{2}）}{2}$=1，
当且仅当|m|=$\sqrt{2-{m}^{2}}$，即为m=±1取得等号．
则△OAB的面积的最大值为1，此时直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+1，或y=$\frac{1}{2}$x-1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．