Question

设函数。

（1）如果，求函数的单调递减区间；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）证明：当时，

 

Answer 1

【答案】

（1）函数的单调减区间为.（2）.（3）分析法

【解析】

试题分析：首先求导数，

讨论得到当时， ，确定函数的单调减区间为.

（2）注意讨论①当时，情况特殊；②当时，令，求驻点，讨论时，得函数的增区间为；

根据函数在区间上单调递增，得到，得出所求范围..

（3）利用分析法，转化成证明；

构造函数，

应用导数知识求解

试题解析：（1）函数的定义域为，

当时，

时，，所以，函数的单调减区间为.

（2）①当时，，所以，函数的单调增区间为；

②当时，令，得，

当时，得，函数的增区间为；

又因为，函数在区间上单调递增，

所以，，得，综上知，.

（3）要证：只需证

只需证

设，                                     

则             11分

由（1）知：即当时，在单调递减，

即时，有，         12分

∴，所以，即是上的减函数，   13分

即当，∴，故原不等式成立。         14分

考点：应用导数研究函数的单调性、证明不等式.