Question

一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P点的位置
（Ⅲ）AE为何值时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）三视图复原几何体是一条侧棱垂直于底面的三棱锥，结合三视图的数据直接求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，通过与，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，A₁E=PC时，有AD₁∥BC₁使得平面BC₁E∥平面PAD₁；
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，设E（1，0，m），求出平面C-ED₁-D的法向量=（2-m，2，1），=（0，1，0），利用二面角C-ED₁-D的大小为45°求出m值．
解答：解：（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
如图所示的三棱锥D₁-ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD₁=2，故所求的体积是；
（Ⅱ）（1）当E点为AA₁的中点时，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，则B（1，1，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），E（1，0，1），，，
所以BE⊥B₁E且BE⊥C₁E，所以BE⊥平面B₁C₁E．
（2）可知当A₁E=PC时，有AD₁∥BC₁，BE∥PD₁所以平面BC₁E∥平面PAD₁
注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可．
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图
设E（1，0，m）则D（0，0，0），C（0，1，0）D₁（0，0，2）
=（1，-1，m），=（0，-1，2）
设向量=（x，y，z）满足
⊥，⊥
于是解得
取z=1得=（2-m，2，1）
又=（0，1，0）
即
解得
因为m＜2所以m=2-
即时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．
点评：本题是中档题，考查三视图的知识，三视图还原几何体，直线与平面平行与垂直的证明，二面角的求法，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．