Question

（本题满分14分）某园林公司计划在一块为圆心,(为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.

（1）设, 用表示弓形的面积;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的

(参考公式:扇形面积公式，表示扇形的弧长)

 

Answer 1

【答案】

（1） ;

(2)所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大.   

【解析】本试题主要是考查了在实际生活中的运用，能借助于三角函数的有界性得到函数的最值，即利润的最大值。

（1）因为运用扇形面积公式和三角形面积公式作差法得到弓形的面积的求解。

（2）利用收入减去成本的，到关系与利润的函数，然后结合导数的思想判定单调性，进而确定极值，那么极值唯一，那么就是最值。

（1），, .………3分

(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为

，，,

 .

                                            ……8分

设  .

 ，上为减函数；

上为增函数.                    ……12分

当时，取到最小值,此时总利润最大.

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大.          ………14分