【题目】如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.
(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;
(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.
【答案】(1)A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为
;(2)当A是
的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为
.
【解析】试题分析:(1)若θ=,由题意得OB=cos α,AB=sin α.求得矩形面积S=OB·AB=sin αcos α,即可得最值;
(2)当θ=时,连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H,
试题解析:
(1)连接OA,设∠AOB=α,
则OB=cos α,AB=sin α.
∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.
∴S=sin 2α.
由于0<α<,
∴当2α=,即α=
时,S最大=
.
∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为
.
(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.
在Rt△ABH中, =tan 60°=
,∴BH=
sin α.
∴OB=OH-BH=cos α-sin α.
设平行四边形ABOC的面积为S,
则S=OB·AH=sin α
=sin αcos α-sin2α=
sin 2α-
(1-cos 2α)
=sin 2α+
cos 2α-
=
=sin
.
由于0<α<,
∴当2α+,
即α=时,S最大=
.
∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为
.
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【题目】如图,隔河看两目标A、B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】若圆上有四个不同的点到直线
的距离为2,则
的取值范围是( )
A. (-12,8) B. (-8,12) C. (-13,17) D. (-17,13)
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
:
,曲线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线,
的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线:
(
为参数,
,
)分别交
,
于
,
两点,当
取何值时,
取得最大值.
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【题目】已知平面向量 =(1,x),
=(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥
,求|
|
(2)若 与
夹角为锐角,求x的取值范围.
(3)若| |=2,求与
垂直的单位向量
的坐标.
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