Question

3．己知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-a{x}^{2}-3ax+b$，实数a＞0，b＞0．若函数f（x）在x=0处的切线斜率为-3，
（1）试确定a的值；
（2）若b=0，求f（x）的极大值和极小值；
（3）若当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立．求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意解方程可得a；
（2）求出导数，求出单调区间，即可得到所求的极值；
（3）由题意可得3b＜$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在[b，3b]的最小值，对b讨论，0＜b≤1时，1＜b≤3时，当b＞3时，讨论单调性，可得最小值，解不等式即可得到b的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-a{x}^{2}-3ax+b$的导数为
f′（x）=x²-2ax-3a，
由题意可得f′（0）=-3，
即有-3a=-3，解得a=1；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，f′（x）=x²-2x-3，
当x＞3或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=3处取得极小值，且为-9，
x=-1处取得极大值，且为$\frac{5}{3}$；
（3）当x∈[b，3b]时，f（x）＞4b恒成立，即为
3b＜$\frac{1}{3}$x³-x²-3x在[b，3b]的最小值，
当3b≤3即0＜b≤1时，由（2）可得[b，3b]为减区间，
则3b＜9b³-9b²-9b，解得b＞$\frac{3+\sqrt{57}}{6}$，则b∈∅；
当b≤3＜3b，即1＜b≤3时，即有x=3取得最小值-9，
由3b＜-9，可得b＜-3，则b∈∅；
当b＞3时，[b，3b]为增区间，即有x=b取得最小值，
则3b＜$\frac{1}{3}$b³-b²-3b，解得b＞6，则有b＞6．
综上可得b的范围是（6，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．