Question

8．在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y+x≤t}\\{y+2x≤4}\end{array}\right.$下，当2≤t≤4时，则函数z=3x+2y的最大值的范围是[6，8]．

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．

解答 解：根据约束条件画出可行域如图，

z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，
当t=2时，对应的平面区域为三角形OAC，
当直线z=3x+2y经过点A（2，0）时，z最大，最大值为6；
当t=4时，对应的平面区域为三角形OAE，
当直线z=3x+2y经过点E（0，4）时，z最大，最大值为8；
当2＜t＜4时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y+2x=4}\\{y+x=t}\end{array}\right.$，解得B（4-t，2t-4），
对应的平面区域为四边形形OABD，
当直线z=3x+2y经过点B（4-t，2t-4）时，z最大，最大值为4+t∈（6，8）．
故当2≤t≤4时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[6，8]．
故答案为：[6，8]．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．