Question

8．求满足下列条件的数列{a_n}的通项公式．
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n+1；
（2）a₁=1，a_n+1 =2ⁿa_n；
（3）a₁=2，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0）；
（4）a₁=1，a_n+1=2a_n+1；
（5）a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n+2n+1可知a_n=a_n-1+2（n-1）+1，a_n-1=a_n-2+2（n-2）+1，…，a₂=a₁+2•1+1，累加计算即得结论；
（2）通过a_n+1 =2ⁿa_n，可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2^n-2，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，累乘计算即得结论；
（3）通过对a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0）两边同时取对数、计算可知数列{log₂a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论；
（4）通过对a_n+1=2a_n+1变形可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（5）通过对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，进而数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n=a_n-1+2（n-1）+1，
a_n-1=a_n-2+2（n-2）+1，
…
a₂=a₁+2•1+1，
累加得：a_n=a₁+2[1+2+…+（n-1）]+（n-1）
=1+2•$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1
=n²；
（2）∵a_n+1 =2ⁿa_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2ⁿ，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=2^n-2，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2•2²•…•2^n-2•2^n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（3）∵a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$（a_n ＞0），
∴log₂a_n+1=log₂a${\;}_{n}^{2}$=2log₂a_n，
∴$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n+1}}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=2，
又∵log₂a₁=log₂2=1，
∴数列{log₂a_n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴log₂a_n=2^n-1，
∴a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$；
（4）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴数列{a_n+1}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；
（5）∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$（n+1），
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．