Question

1．若关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是（3，4]．

Answer 1

分析 根据一元二次方程x²-4x+m=0有两个正根可得m＞0且△=16-4m≥0，再根据三角形三边关系确定m的范围．

解答 解：∵（x-2）•（x²-4x+m）=0有三个根（允许相等），
∴设这三根为：x₁=2，x₂，x₃，不妨设x₂≤x₃，
即x₂，x₃为方程x²-4x+m=0的两正根，
所以，m＞0且△=16-4m≥0，解得0＜m≤4，
∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
∴两边之和：x₂+x₃=4=2x₁，则x₂≤2≤x₃，
两边之差：|x₂-x₃|＜2，
即（x₂+x₃）²-4x₂x₃＜4，
所以，16-4m＜4，解得m＞3，
因此，3＜m≤4，
故实数m的取值范围是（3，4]．

点评 本题主要考查了一元二次方程根的分布，以及三角形三边大小关系的确定，属于中档题．