【题目】如图,在三棱柱中,平面,,,,,,为线段上一点.
(Ⅰ)求的值,使得平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由面面垂直性质得平面,∴,由相似形可得,得平面;(Ⅱ)以为原点,为轴建立如图空间直角坐标系,求平面的一个法向量为,可得二面角的平面角为的余弦值,进而求出正切值.
试题解析:(Ⅰ)证明:在三棱柱中,平面,∴平面平面.
∵,∴平面,∴.
∵,,
∴.
在平面内,当即可满足,此时,平面.
∴,∴,∴,平面.
(Ⅱ)方法一:
在(Ⅰ)的条件下,平面,,
设,则即为二面角的平面角.
中,∴,∴.
中,,
,,
二面角的正切值为.
(Ⅱ)方法二:以为原点,为轴建立如图空间直角坐标系.
.
,.
在(Ⅰ)的条件下,平面,∴平面,.
设平面,,
即,则,
设二面角的平面角为,,
所以二面角的正切值为.
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【题目】选修4—1:几何证明选讲
如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.
(1) 证明:A、P、O、M四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM的大小
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【题目】已知函数(, )为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.当时,求函数的值域.
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【题目】已知二次函数的对称轴为,.
(1)求函数的最小值及取得最小值时的值;
(2)试确定的取值范围,使至少有一个实根;
(3)当时,,对任意有恒成立,求的取值范围.
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【题目】如图,已知四棱锥,底面为菱形, 平面, , 分别是的中点.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)若为上的动点, 与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.
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