Question

已知直线x-2y+1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=

1

5

（a，b∈R）有交点，则a²+b²-2a+2b+1的最小值是（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  4

  5

• C．

  9

  5

• D．

  14

  5

Answer 1

分析：设 k=a²+b²-2a+2b+1，则 （a-1）²+（b+1）²=k+1，故k+1 表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与
点A（1，-1）的最短距离AC，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，进而求出AC²的最小值，从而得到k的最小值．

解答：解：∵圆(x-a)2+(y-b)2=

1

5

的圆心为C（a，b），半径等于

5

5

．
设 k=a²+b²-2a+2b+1=（a-1）²+（b+1）²-1，则 （a-1）²+（b+1）²=k+1，
故k+1表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与点A（1，-1）的最短距离AC．
故当AC和直线x-2y+1=0垂直时，AC最短，此时，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，
即

|1+2+1|

5

-

5

5

=

3 5

5

．
故k+1的最小值为(

3 5

5

)2=

9

5

，
∴k 的最小值等于

9

5

-1=

4

5

．
故选B．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．