Question

已知

a

，

b

是非零向量且满足(

a

-2

b

)⊥

a

，(

b

-2

a

)⊥

b

，则

a

与

b

的夹角是

π

3

．

Answer 1

分析：根据垂直向量的数量积为零，结合题意建立关于

a

 、

b

的方程组，解出|

a

 |=|

b

|且

a

•

b

=

1

2

|

a

 |²．再根据平面向量的夹角公式加以计算，可得

a

与

b

的夹角大小．

解答：解：∵(

a

-2

b

)⊥

a

，(

b

-2

a

)⊥

b

，
∴

( a -2 b )• a =0 ( b -2 a )• b =0

，化简得

a

2=

b

2=2

a

•

b

可得|

a

 |=|

b

|，

a

•

b

=

1

2

|

a

 |²
因此，设

a

与

b

的夹角为α，则有cosα=

a • b

|a| • |b|

=

1 2 |a| 2

|a| 2

=

1

2

，
∵α∈（0，π），∴α=

π

3

．
故答案为：

π

3

点评：本题给出向量

a

 、

b

的满足的条件，求

a

与

b

的夹角大小．着重考查了向量数量积的公式及其运算性质、两个向量的夹角求法等知识，属于中档题．