Question

设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1时取得极大值5
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2x³+3ax²+3bx，
∴f'（x）=6x²+6ax+3b…（1分）
∵函数f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1时取得极大值5，
∴…（2分）
解得：a=-3，b=4，…（3分）
经检验：a=-3，b=4符合题意 …（4分）
∴f（x）=2x³-9x²+12x…（5分）
（2）对于任意的x∈[0，3]，
都有f（x）＜m²-8m成立等价于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立，…（6分）
由f（x）=2x³-9x²+12x在[0，3]上恒成立，…（8分）
比较f（2），f（1），f（0），f（3）的大小，
得[f（x）]_max=9…（10分）
∴9＜m²-8m，…11 分
解得m＞9或m＜-1．…（12分）
分析：（1）由f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1时取得极大值5，知，解得a=-3，b=4，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等价于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．由f（x）=2x³-9x²+12x在[0，3]上恒成立，能求出m的取值范围．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，易错点是对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等价于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．