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    如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB。

    ⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
    ⑵求弦AB中点M的轨迹方程。
    ⑴A（，），B（，）。⑵ ，即为M点轨迹的普通方程。

    试题分析：⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
    ∴设直线OA的方程为（）∴联立方程 
    解得   ；以代上式中的，解方程组
    解得   ∴A（，），B（，）。 6分
    ⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得
    消去参数k，得 ，即为M点轨迹的普通方程。   12
    点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将动点的坐标相互联系起来。
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

    （1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
    （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围；
    （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：()经过与两点.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足．求证：为定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
    （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且．求△ABM的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知、分别为椭圆：的上、下焦点，其中也是抛物线： 的焦点，点是与在第二象限的交点，且。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）已知点（1，3）和圆：，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段取一点，满足：，（且）。
    求证：点总在某定直线上。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
    （1）求椭圆及动圆圆心轨迹的方程；
    （2） 在曲线上有两点、，椭圆上有两点、，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    设F1、F2为双曲线（）的两个焦点，若F1、F2、P（0，2）是正三角形的三个顶点，则双曲线离心率是（  ）
    A．B．2C．D．3

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.
    (1)求椭圆C的方程；
    (2)过点且斜率为(＞0)的直线与C交于两点，是点关于轴的对称点，证明：三点共线．

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