Question

20．我们知道0.$\stackrel{•}{3}$=$\frac{1}{3}$，记a_n=0.33…3 （n个3），若|a_n-0.$\stackrel{•}{3}$|＜$\frac{1}{2015}$，则正整数n的最小值是4．

Answer 1

分析 a_n=0.33…3 （n个3）=$\frac{3}{9}×$0.99…9 （n个9）=$\frac{1}{3}×（1-1{0}^{-n}）$，可得|a_n-0.$\stackrel{•}{3}$|＜$\frac{1}{2015}$化为$|\frac{1}{3}×（1-1{0}^{-n}）-\frac{1}{3}|$$＜\frac{1}{2015}$，解出即可．

解答 解：a_n=0.33…3 （n个3）=$\frac{3}{9}×$0.99…9 （n个9）=$\frac{1}{3}×（1-1{0}^{-n}）$，
又0.$\stackrel{•}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴|a_n-0.$\stackrel{•}{3}$|＜$\frac{1}{2015}$化为$|\frac{1}{3}×（1-1{0}^{-n}）-\frac{1}{3}|$$＜\frac{1}{2015}$，
即$\frac{1}{1{0}^{n}}$＜$\frac{1}{2015}$，
∴10ⁿ＞2015，
解得n＞3．
故答案为：4．

点评 本题考查了数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．