Question

16．已知a-b=1（0＜b＜1），则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{1-b}$的最小值为$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于a-b=1，可得a=1+b，代入式子进行化简可得$\frac{b-3}{{b}^{2}-1}$，然后构造函数f（b）=$\frac{b-3}{{b}^{2}-1}$，求其导数然后求其最值．

解答 解：a-b=1（0＜b＜1），
∴a=1+b，
∴$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{1-b}$
=$\frac{（b+1）^{2}+2}{b+1}-\frac{{b}^{2}}{b-1}$
=（b+1）+$\frac{2}{b+1}$-$\frac{（b+1）（b-1）+1}{b-1}$
=$\frac{2}{b+1}-\frac{1}{b-1}$
$\frac{b-3}{{b}^{2}-1}$（0＜b＜1）
令f（b）=$\frac{b-3}{{b}^{2}-1}$，
$f′（b）=\frac{{b}^{2}-1-（b-3）•2b}{（{b}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{-{b}^{2}+6b-1}{（{b}^{2}-1）^{2}}$
令f′（b）=0，
∵0＜b＜1，有唯一极值点，b=3-2$\sqrt{2}$，
故b=3-2$\sqrt{2}$时，f（b）有最小值，
f（3-2$\sqrt{2}）$=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的构造，以及导数的应用，属于中档题．