Question

13．已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若$B=\frac{π}{4}$，则cosA-cosC=（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $-\root{4}{2}$
• D． $\root{4}{2}$

Answer 1

分析 三边a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=$\sqrt{2}$，设cosA-cosC=m，平方相加即可得出．

解答 解：∵三边a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，
∴sinA+sinC=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
设cosA-cosC=m，
则平方相加可得：2-2cos（A+C）=2+m²，
∴m²=2cosB=$\sqrt{2}$，
解得m=±$\root{4}{2}$．
∵a，b，c成递减的等差数列，
∴m=-$\root{4}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．