Question

【题目】已知函数 f（x）= （a＞0且a≠1）
（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 f（x）= （a＞0且a≠1），

∴a=2时， ，

∵f（x）≤5，

∴当x≤2时，﹣x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；

当x＞2时，3+log2x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．

应用 综上，不等式f（x）＜5的解集为{x|1≤x≤4}

（2）解：∵函数 f（x）= （a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），

∴当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，解得x≤2，∴x=2时，f（x）=﹣x+6=4；

当x＞2时，f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，

当0＜a＜1时，x≤a，由x＞2，得a≥2，无解；

当a＞1时，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．

∴实数a的取值范围是（1，2]

【解析】本题考查的是分段函数的值域应用问题以及对数函数的单调性。